Analýza dat v neurologii LXXVI. Korelační analýza vícerozměrných souborů kvantitativních a kvalitativních dat –  představení vybraných ukazatelů

Tímto dílem vstupujeme do závěrečné části výkladu různých aspektů korelační analýzy. V několika předchozích dílech jsme tuto analýzu představili z různých pohledů jako nástroj pro studium síly vztahu dvou kvantitativních proměn­ných, představili jsme parametrické i neparametrické korelační koeficienty a vysvětlili principy hodnocení jejich statistické významnosti. Avšak svět klinického a bio­medicínského výzkumu většinou nepracuje pouze se dvěma charakteristikami zkoumaných subjektů. Typickým výstupem probíhajících měření jsou tzv. mnohorozměrné (vícerozměrné) soubory dat, kdy je N jedinců popisováno K proměn­nými a zápis datového souboru vytváří matici N × K. S rozšiřujícím se arzenálem různých vyšetřovacích metod a zejména s nástupem molekulárně bio­logických a genetických vyšetření se tento trend týká i klasického klinického výzkumu a výsledné datové matice zahrnují i mnoho desítek proměn­ných. Logicky vzniká potřeba vyhodnotit vzájemnou korelaci všech těchto proměn­ných.

Problémem korelační analýzy mnohorozměrných souborů může být již samotný vysoký počet vzájemných korelací sledovaných proměn­ných. Ty je nutné nějak přehledně znázornit a dále s nimi efektivně pracovat. Např. je třídit podle síly a významnosti nebo seskupovat proměn­né do skupin podle toho, jaký mezi sebou mají vztah. Jistou pomocí zde jsou tzv. korelační matice. Při současném zpracování K proměn­ných hodnotíme korelaci pro K*(K –⁠ 1)/2 dvojic proměn­ných, které sestavujeme do tzv. korelační matice, jejíž řádky i sloupce jsou věnovány postupně první až K-té proměn­né. Na průsečíku
i-tého řádku a j-tého sloupce je uvedena korelace i-té a j-té proměn­né. Korelační matice jsou tak logicky čtvercové (symetrické podle hlavní diagonály). Na hlavní diagonále korelační matice najdeme vždy hodnoty 1, neboť platí, že korelace proměn­né X se sebou samou musí být absolutní, a tedy platí vztah
cor(X, X) = 1.

Samotné vytvoření korelační matice sice částečně zpřehlední větší množství korelací, ale při jejich velkém počtu ani to není konečným řešením. Proto se korelační matice graficky znázorňují v tzv. korelogramu (cor­relogram), což není nic jiného než vykreslené vzájemné korelace dvojic proměn­ných v celkovém grafu. Tento typ grafického znázornění jsme již popsali v díle 71 tohoto seriálu, pro přehlednost jej zde připomínáme v příkladu 1. Je zřejmé, že jde o poměrně funkční nástroj, který usnadní orientaci i ve velké korelační matici. Dostupnost tohoto typu grafu je velmi dobrá, zvládne jej automaticky vykreslit v podstatě každý software určený k statistickému zpracování dat.

Zde se jistě nabízí otázka, jakou přidanou hodnotu mají tyto mnohonásobné grafy proti „běžné“ korelaci dvou proměn­ných? Odpověď je snadná a spočívá již v důvodu, proč byly tyto proměn­né společně sledovány. Pokud u jednoho subjektu, pa­cienta, máme důvod sledovat současně K proměn­ných, pak nás jistě nezajímají jen jejich separované vzájemné vztahy, ale i odpovědi na následující otázky:

Jaká je vzájemná provázanost jednotlivých proměn­ných? Nebo jinými slovy, do jaké míry se sledované proměn­né vzájemně nezávisle doplňují a do jaké míry spolu souvisí, například až tak, že by jejich současné sledování bylo redundantní? Pokud by totiž mezi sebou ně­kte­ré proměn­né velmi silně korelovaly (korelace blízké hraničním hodnotám –⁠ 1 nebo +1), pak se vzájemně nahrazují a nepřinášejí novou informaci o sledovaných subjektech.

A naopak, existuje v sadě sledovaných proměn­ných nějaká proměn­ná, která vůbec nekoreluje s ostatními, tedy je na nich nezávislá?

Lze proměn­né ve sledované sadě nějak třídit dle jejich vzájemné korelace? Např. do skupin proměn­ných, které jsou uvnitř silně vzájemně korelované, avšak nezávislé na jiných skupinách proměn­ných?

Existují nějaké významné dílčí korelace mezi proměn­nými? Existují ně­kte­ré proměn­né, jejichž změny lze vysvětlit korelacemi s jinými proměn­nými? Takovou analýzou se dá odhalit například maskující vliv ně­kte­rých vzájemně korelovaných znaků apod.

Takto bychom mohli v otázkách pokračovat dále, neboť vícerozměrná analýza dat reprezentovaných mnoha proměn­nými samozřejmě nabízí velké množství pohledů a dílčích analýz. Konkrétním přístupům se proto budeme věnovat v příkladech v dalším díle seriálu. Zde se pokusíme vysvětlit výpočetní základnu pro tyto analýzy. Nejčastěji používanými statistikami v těchto sofistikovaných analýzách jsou tzv. vícenásobné koeficienty korelace a dílčí (parciální) koeficienty korelace. Jejich výpočty doložíme formou příkladů, avšak nejprve se musíme zastavit u pojmu determinant matice, v našem případě půjde o determinant korelační matice.

Determinant matice zjednodušeně definujme jako číslo, které lze spočítat pouze u čtvercové matice. Determinant matice A se označuje detA. Výpočet determinantu se liší podle velikosti matice, nejjednodušší je postup u matic druhého řádu 2 × 2 nebo třetího řádu 3 × 3, s rostoucím řádem složitost výpočtu narůstá. To ale nemusí čtenáře trápit, výpočet determinantu matic je dostupný i v běžných tabulkových procesorech (např. MS Excel [Microsoft, Redmond, WA, USA]) anebo lze využít řady on-line dostupných webových kalkulátorů. Příklady výpočtu pro nejjednodušší matice přibližuje příklad 2.

Mnohem důležitější než samotný výpočet je význam a interpretace hodnoty determinantu korelační matice. Platí totiž, že s rostoucí mírou vzájemné závislosti (korelace) proměn­ných v matici hodnota determinantu klesá. Při silné vzájemné lineární závislosti analyzovaných proměn­ných se determinant korelační matice málo liší od nuly (viz ukázky uvedené v příkladu 3). Výpočet korelační matice vyššího řádu a jejího determinantu dokládá příklad 4. Determinant tedy můžeme vnímat jako číselnou prezentaci korelační matice, která ukazuje na míru vzájemné lineární závislosti proměn­ných, tzv. multikolinearity. Z těchto důvodů je determinant silně využíván v statistické analýze vícerozměrných dat.

Determinant korelační matice využijeme k technickému výkladu výpočtu výše zmíněného vícenásobného koeficientu korelace a parciálního koeficientu korelace. Vztahy a postup výpočtu těchto statistik přibližují příklady 5 a 6.

Mnohonásobný korelační koeficient (příklad 5) vyjadřuje míru závislosti jedné proměn­né na dalších proměn­ných v souboru. Taková analýza je velmi užitečná například při ověřování, zda je či není sledování této proměn­né v daném souboru redundantní. Rovněž takto lze posuzovat vysvětlující vliv ně­kte­rých proměn­ných pro změny hodnot vybrané proměn­né apod.

Parciální korelační koeficient (příklad 6) sleduje v podstatě opačný cíl než koeficient mnohonásobný. Touto korelací hodnotíme vztah dvou spojitých proměn­ných při vyloučení vlivu ostatních proměn­ných v souboru. Tato analýza je velmi užitečná, chceme-li odhalit či vyloučit vliv jiných proměn­ných na míru vztahu dvou separátně sledovaných proměn­ných v souboru.

Jsme si vědomi, že čtenářům touto snad ještě srozumitelnou formou předkládáme relativně složité statistiky kalkulované na vnitřně komplikovaných mnohonásobných souborech dat. Avšak příklady 5 a 6 dokládají, že samotný výpočet mnohonásobných a dílčích koeficientů korelace není problém, a pokud uživatel zvládne na počítači výpočet determinantu matice, může tyto korelační koeficienty hodnotit velmi jednoduchými vztahy. Tím se mu otevírají možnosti velmi sofistikovaných analýz s významnou klinickou či bio­logickou interpretací. Těm bude formou příkladů věnován celý příští díl seriálu.

prof. RNDr. Ladislav Dušek, Ph.D.

Institut bio statistiky a analýz, LF MU, Brno

e-mail: dusek@iba.muni.cz